La distribución de la mediana móvil ponderada de una secuencia de observaciones del IID Citas Citas 7 Referencias 1 Las cosas que consideramos en este artículo se caracterizan por una elevada volatilidad y asimetría, y que estas características pueden variar con el tiempo. Además, la Figura 1 muestra que la serie ocasionalmente tiene valores grandes. Estas características motivan la consideración de los métodos de pronóstico de puntos que son robustos a las distribuciones no gaussianas y las observaciones periféricas. Dunsmuir et al. (1996) presentan la expresión (3.5) en un estudio que introduce la idea de una mediana móvil ponderada exponencialmente (EWMM), que proponen como una sólida alternativa de predicción de puntos a la media móvil estándar exponencialmente ponderada. Utilizan la expresión para determinar el estimador cdf, quot Mostrar resumen Esconder resumen RESUMEN: Los sistemas de control de inventario normalmente requieren la actualización frecuente de pronósticos para muchos productos diferentes. Además de las predicciones puntuales, se necesitan previsiones de intervalos para establecer los niveles adecuados de existencias de seguridad. Las series consideradas en este artículo se caracterizan por una alta volatilidad y asimetría, que son variables en el tiempo. Estas características motivan la consideración de métodos de pronóstico que son robustos con respecto a los supuestos distributivos. El uso generalizado de suavizado exponencial para la predicción de puntos en el control de inventario motiva el desarrollo del enfoque para la predicción de intervalos. En este trabajo, se construyen los pronósticos de intervalos a partir de las predicciones cuantitativas generadas mediante la regresión cuantitativa ponderada exponencial. El enfoque equivale al suavizado exponencial de la función de distribución acumulativa, y puede ser visto como una extensión del suavizado exponencial generalizado a la predicción cuantil. Los resultados empíricos son alentadores, y las mejoras con respecto a los métodos tradicionales son particularmente evidentes cuando el enfoque se utiliza como base para la predicción robusta de puntos. Artículo Abr 2007 James W. Taylor Mostrar el resumen Ocultar el resumen RESUMEN: En este informe se analiza sólo la primera parte del proyecto. El segundo se refiere a los débiles resultados de convergencia para el proceso de razón de verosimilitud, mientras que la tercera parte se dedicará a los diferentes tipos de estimadores b G de un cambio establecido sin el supuesto de limitación total sobre C. Artículo completo Oct 1997 European En este artículo, derivamos la función de distribución conjunta de la salida de filtros medianos ponderados con entradas independientes pero no idénticamente distribuidas en ventanas superpuestas que pueden contener una Como una línea o un borde. Estos resultados se utilizan para derivar las distribuciones de probabilidad de la diferencia entre las medianas ponderadas calculadas en dos ventanas superpuestas adyacentes. Como ilustración, estas últimas distribuciones se utilizan para calcular las funciones de potencia para detectar un cambio de paso en la imagen para una variedad de gama de esquemas de ponderación existentes. Estas comparaciones demuestran que la estructura óptima preservación de los esquemas de ponderación no son óptimas en términos de potencia para detectar un borde en presencia de ruido. Número de EDICS: IP 1.9 Análisis de la imagen Profesor William Dunsmuir Número de teléfono: 61-2-93853356 Número de fax: 61-2-93851071 Dirección de correo electrónico: W. Dunsmuirunsw. edu. au 1 Introducción En el análisis de imágenes, el filtro mediano móvil Un operador que c. Los modelos de series temporales conocidos como modelos ARIMA pueden incluir términos autorregresivos y / o términos de media móvil. En la semana 1, aprendimos un término autorregresivo en un modelo de series de tiempo para la variable x t es un valor retrasado de x t. Por ejemplo, un término autorregresivo de retardo 1 es x t-1 (multiplicado por un coeficiente). Esta lección define los términos del promedio móvil. Un término medio móvil en un modelo de serie temporal es un error pasado (multiplicado por un coeficiente). Dejamos (wt desbordamiento N (0, sigma2w)), lo que significa que los w t son idéntica, independientemente distribuidos, cada uno con una distribución normal que tiene la media 0 y la misma varianza. El modelo de media móvil de primer orden, denotado por MA (1) es (xt mu wt theta1w) El modelo de media móvil de segundo orden, denotado por MA (2) es (xt mu wt theta1w theta2w) , Denotado por MA (q) es (xt mu wt theta1w theta2w puntos thetaqw) Nota. Muchos libros de texto y programas de software definen el modelo con signos negativos antes de los términos. Esto no cambia las propiedades teóricas generales del modelo, si bien cambia los signos algebraicos de los valores estimados de los coeficientes y los términos (no cuadrados) en las fórmulas para ACF y las varianzas. Usted necesita comprobar su software para verificar si los signos negativos o positivos se han utilizado con el fin de escribir correctamente el modelo estimado. R utiliza signos positivos en su modelo subyacente, como lo hacemos aquí. Propiedades teóricas de una serie temporal con un modelo MA (1) Tenga en cuenta que el único valor distinto de cero en el ACF teórico es para el retardo 1. Todas las demás autocorrelaciones son 0. Por lo tanto, una muestra de ACF con una autocorrelación significativa sólo con el retardo 1 es un indicador de un posible modelo MA (1). Para los estudiantes interesados, las pruebas de estas propiedades son un apéndice a este folleto. Ejemplo 1 Supongamos que un modelo MA (1) es x t 10 w t .7 w t-1. Donde (wt overset N (0,1)). Así, el coeficiente 1 0,7. El ACF teórico se da por un diagrama de esta ACF sigue. La gráfica que se muestra es la ACF teórica para una MA (1) con 1 0,7. En la práctica, una muestra no suele proporcionar un patrón tan claro. Utilizando R, simulamos n 100 valores de muestra utilizando el modelo x t 10 w t .7 w t-1 donde w t iid N (0,1). Para esta simulación, sigue un diagrama de series de tiempo de los datos de la muestra. No podemos decir mucho de esta trama. A continuación se muestra el ACF de muestra para los datos simulados. Observamos un pico en el retraso 1 seguido por valores generalmente no significativos para los retrasos de 1. Obsérvese que la muestra ACF no coincide con el patrón teórico del MA subyacente (1), que es que todas las autocorrelaciones para los retrasos de 1 serán 0.Una muestra diferente tendría una ACF de muestra ligeramente diferente mostrada abajo, pero probablemente tendría las mismas características amplias. Propiedades Terapéuticas de una Serie de Tiempo con un Modelo MA (2) Para el modelo MA (2), las propiedades teóricas son las siguientes: Obsérvese que los únicos valores distintos de cero en la ACF teórica son para los retornos 1 y 2. Las autocorrelaciones para retardos mayores son 0 . Por lo tanto, una muestra de ACF con autocorrelaciones significativas en los intervalos 1 y 2, pero autocorrelaciones no significativas para retardos mayores, indica un posible modelo MA (2). Iid N (0,1). Los coeficientes son 1 0,5 y 2 0,3. Dado que se trata de una MA (2), la ACF teórica tendrá valores distintos de cero sólo en los retornos 1 y 2. Los valores de las dos autocorrelaciones distintas de cero son: Un gráfico de la ACF teórica sigue. Como casi siempre es el caso, los datos de la muestra no se comportarán tan perfectamente como la teoría. Se simularon 150 valores de muestra para el modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Donde w t iid N (0,1). A continuación se muestra el gráfico de la serie de tiempo de los datos. Al igual que con el gráfico de la serie de tiempo para los datos de la muestra MA (1), no se puede decir mucho de ella. A continuación se muestra el ACF de muestra para los datos simulados. El patrón es típico para situaciones donde un modelo MA (2) puede ser útil. Hay dos picos estadísticamente significativos en los intervalos 1 y 2, seguidos de valores no significativos para otros desfases. Tenga en cuenta que debido al error de muestreo, la muestra ACF no coincide exactamente con el patrón teórico. ACF para modelos MA (q) Una propiedad de los modelos MA (q) en general es que hay autocorrelaciones no nulas para los primeros q retrasos y autocorrelaciones 0 para todos los retrasos gt q. No unicidad de la conexión entre los valores de 1 y (rho1) en MA (1) Modelo. En el modelo MA (1), para cualquier valor de 1. El 1/1 recíproco da el mismo valor para. Por ejemplo, use 0.5 para 1. Y luego utilice 1 / (0,5) 2 para 1. Youll get (rho1) 0.4 en ambos casos. Para satisfacer una restricción teórica llamada invertibilidad. Limitamos los modelos MA (1) a tener valores con valor absoluto menor que 1. En el ejemplo dado, 1 0,5 será un valor de parámetro permisible, mientras que 1 1 / 0,5 2 no. Invertibilidad de los modelos MA Se dice que un modelo MA es invertible si es algebraicamente equivalente a un modelo de orden infinito convergente. Al converger, queremos decir que los coeficientes de AR disminuyen a 0 a medida que retrocedemos en el tiempo. Invertibilidad es una restricción programada en el software de la serie de tiempo usado para estimar los coeficientes de modelos con términos de MA. No es algo que buscamos en el análisis de datos. En el apéndice se proporciona información adicional sobre la restricción de la invertibilidad para los modelos MA (1). Nota de Teoría Avanzada. Para un modelo MA (q) con un ACF especificado, sólo hay un modelo invertible. La condición necesaria para la invertibilidad es que los coeficientes tienen valores tales que la ecuación 1- 1 y-. - q y q 0 tiene soluciones para y que caen fuera del círculo unitario. Código R para los Ejemplos En el Ejemplo 1, se representó la ACF teórica del modelo x $ _ {t} $ w $ _ {t} $. 7w t - 1. Y luego se simularon 150 valores de este modelo y se representaron las series de tiempo de muestra y la muestra ACF para los datos simulados. Los comandos R utilizados para trazar el ACF teórico fueron: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 retardos de ACF para MA (1) con theta1 0.7 lags0: 10 crea una variable llamada lags que oscila entre 0 y 10. plot Abline (h0) añade un eje horizontal al diagrama El primer comando determina el ACF y lo almacena en un objeto (a0) Llamado acfma1 (nuestra elección de nombre). El comando plot (el 3er comando) traza retrasos en comparación con los valores ACF para los retornos 1 a 10. El parámetro ylab etiqueta el eje y y el parámetro principal coloca un título en la gráfica. Para ver los valores numéricos de la ACF simplemente utilice el comando acfma1. La simulación y las parcelas se realizaron con los siguientes comandos. Xcarzim. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 agrega 10 para hacer la media 10. La simulación predeterminada significa 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) (X, xlimc (1,10), mainACF para datos de muestra simulados) En el Ejemplo 2, se representó el ACF teórico del modelo xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2. Y luego se simularon 150 valores de este modelo y se representaron las series de tiempo de muestra y la muestra ACF para los datos simulados. Los comandos R utilizados fueron acfma2ARMAacf (mac (0.5.0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 trama (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (2) con theta1 0,5, (X, typeb, principal serie MA simulado) acf (x, xlimc (1,10), x2) (1) Para los estudiantes interesados, aquí hay pruebas de las propiedades teóricas del modelo MA (1). Cuando x 1, la expresión anterior 1 w 2. Para cualquier h 2, la expresión anterior 0 (x) La razón es que, por definición de independencia del peso. E (w k w j) 0 para cualquier k j. Además, debido a que w t tiene una media 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para una serie de tiempo, aplique este resultado para obtener la ACF indicada anteriormente. Un modelo inversible MA es uno que puede ser escrito como un modelo de orden infinito AR que converge para que los coeficientes AR convergen a 0 a medida que avanzamos infinitamente en el tiempo. Bien demostrar invertibilidad para el modelo MA (1). A continuación, sustituimos la relación (2) de wt-1 en la ecuación (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z - theta2w) En el momento t-2. La ecuación (2) es entonces sustituimos la relación (4) por w t-2 en la ecuación (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Si continuáramos Sin embargo, si 1 1, los coeficientes que multiplican los retrasos de z aumentarán (infinitamente) en tamaño a medida que retrocedemos hacia atrás hora. Para evitar esto, necesitamos 1 lt1. Esta es la condición para un modelo de MA (1) invertible. Infinite Order MA model En la semana 3, veamos bien que un modelo AR (1) puede convertirse en un modelo de orden infinito MA: (xt - mu wt phi1w phi21w puntos phik1 w dots sum phij1w) Esta suma de términos de ruido blanco pasado es conocida Como la representación causal de un AR (1). En otras palabras, x t es un tipo especial de MA con un número infinito de términos remontándose en el tiempo. Esto se llama un orden infinito MA o MA (). Una orden finita MA es un orden infinito AR y cualquier orden finito AR es un orden infinito MA. Recordemos en la semana 1, observamos que un requisito para un AR estacionario (1) es que 1 lt1. Vamos a calcular el Var (x t) utilizando la representación causal. Este último paso utiliza un hecho básico sobre series geométricas que requiere (phi1lt1) de lo contrario la serie diverge. NavegaciónLista 2: Modelos MA, Autocorrelación parcial, Convenciones de notación Lea las notas en línea de la lección 2 que siguen. (Nota: No hay asignación de lectura del texto esta semana.) Complete la asignación de la lección 2. Esta semana, bien mirar una variedad de temas en preparación para la escala completa mirar ARIMA modelos de series de tiempo que bien lo hacen en las próximas semanas. Los temas de esta semana son modelos de MA, autocorrelación parcial y convenciones de notación. Después de completar con éxito esta lección, usted debería ser capaz de: Identificar e interpretar un modelo MA (q) Distinguir los términos MA de un ACF Interpretar un PACF Distinguir términos AR y términos MA de explorar simultáneamente un ACF y PACF Reconocer y escribir AR, MA, Y polinomios ARMA 2.1 Modelos de media móvil (modelos MA) Los modelos de series temporales conocidos como modelos ARIMA pueden incluir términos autorregresivos y / o términos de media móvil. En la semana 1, aprendimos un término autorregresivo en un modelo de series de tiempo para la variable x t es un valor retrasado de x t. Por ejemplo, un término autorregresivo de retardo 1 es x t-1 (multiplicado por un coeficiente). Esta lección define los términos del promedio móvil. Un término medio móvil en un modelo de serie temporal es un error pasado (multiplicado por un coeficiente). Dejamos (wt desbordamiento N (0, sigma2w)), lo que significa que los w t son idéntica, independientemente distribuidos, cada uno con una distribución normal que tiene la media 0 y la misma varianza. El modelo de media móvil de primer orden, denotado por MA (1) es (xt mu wt theta1w) El modelo de media móvil de segundo orden, denotado por MA (2) es (xt mu wt theta1w theta2w) , Denotado por MA (q) es (xt mu wt theta1w theta2w puntos thetaqw) Nota. Muchos libros de texto y programas de software definen el modelo con signos negativos antes de los términos. Esto no cambia las propiedades teóricas generales del modelo, si bien cambia los signos algebraicos de los valores estimados de los coeficientes y los términos (no cuadrados) en las fórmulas para ACF y las varianzas. Usted necesita comprobar su software para verificar si los signos negativos o positivos se han utilizado con el fin de escribir correctamente el modelo estimado. R utiliza signos positivos en su modelo subyacente, como lo hacemos aquí. Propiedades teóricas de una serie temporal con un modelo MA (1) Tenga en cuenta que el único valor distinto de cero en el ACF teórico es para el retardo 1. Todas las demás autocorrelaciones son 0. Por lo tanto, una muestra de ACF con una autocorrelación significativa sólo con el retardo 1 es un indicador de un posible modelo MA (1). Para los estudiantes interesados, las pruebas de estas propiedades son un apéndice a este folleto. Ejemplo 1 Supongamos que un modelo MA (1) es x t 10 w t .7 w t-1. Donde (wt overset N (0,1)). Así, el coeficiente 1 0,7. El ACF teórico se da por un diagrama de esta ACF sigue. La gráfica que se muestra es la ACF teórica para una MA (1) con 1 0,7. En la práctica, una muestra no suele proporcionar un patrón tan claro. Utilizando R, simulamos n 100 valores de muestra utilizando el modelo x t 10 w t .7 w t-1 donde w t iid N (0,1). Para esta simulación, sigue un diagrama de series de tiempo de los datos de la muestra. No podemos decir mucho de esta trama. A continuación se muestra el ACF de muestra para los datos simulados. Observamos un pico en el retraso 1 seguido por valores generalmente no significativos para los retrasos de 1. Obsérvese que la muestra ACF no coincide con el patrón teórico del MA subyacente (1), que es que todas las autocorrelaciones para los retrasos de 1 serán 0.Una muestra diferente tendría una ACF de muestra ligeramente diferente mostrada abajo, pero probablemente tendría las mismas características amplias. Propiedades Terapéuticas de una Serie de Tiempo con un Modelo MA (2) Para el modelo MA (2), las propiedades teóricas son las siguientes: Obsérvese que los únicos valores distintos de cero en la ACF teórica son para los retornos 1 y 2. Las autocorrelaciones para retardos mayores son 0 . Por lo tanto, una muestra de ACF con autocorrelaciones significativas en los intervalos 1 y 2, pero autocorrelaciones no significativas para retardos mayores, indica un posible modelo MA (2). Iid N (0,1). Los coeficientes son 1 0,5 y 2 0,3. Dado que se trata de una MA (2), la ACF teórica tendrá valores distintos de cero sólo en los retornos 1 y 2. Los valores de las dos autocorrelaciones distintas de cero son: Un gráfico de la ACF teórica sigue. Como casi siempre es el caso, los datos de la muestra no se comportarán tan perfectamente como la teoría. Se simularon 150 valores de muestra para el modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Donde w t iid N (0,1). A continuación se muestra el gráfico de la serie de tiempo de los datos. Al igual que con el gráfico de la serie de tiempo para los datos de la muestra MA (1), no se puede decir mucho de ella. A continuación se muestra el ACF de muestra para los datos simulados. El patrón es típico para situaciones donde un modelo MA (2) puede ser útil. Hay dos picos estadísticamente significativos en los intervalos 1 y 2, seguidos de valores no significativos para otros desfases. Tenga en cuenta que debido al error de muestreo, la muestra ACF no coincide exactamente con el patrón teórico. ACF para modelos MA (q) Una propiedad de los modelos MA (q) en general es que hay autocorrelaciones no nulas para los primeros q retrasos y autocorrelaciones 0 para todos los retrasos gt q. No unicidad de la conexión entre los valores de 1 y (rho1) en MA (1) Modelo. En el modelo MA (1), para cualquier valor de 1. El 1/1 recíproco da el mismo valor para. Por ejemplo, use 0.5 para 1. Y luego utilice 1 / (0,5) 2 para 1. Youll get (rho1) 0.4 en ambos casos. Para satisfacer una restricción teórica llamada invertibilidad. Limitamos los modelos MA (1) a tener valores con valor absoluto menor que 1. En el ejemplo dado, 1 0,5 será un valor de parámetro permisible, mientras que 1 1 / 0,5 2 no. Invertibilidad de los modelos MA Se dice que un modelo MA es invertible si es algebraicamente equivalente a un modelo de orden infinito convergente. Al converger, queremos decir que los coeficientes de AR disminuyen a 0 a medida que retrocedemos en el tiempo. Invertibilidad es una restricción programada en el software de la serie de tiempo usado para estimar los coeficientes de modelos con términos de MA. No es algo que buscamos en el análisis de datos. En el apéndice se proporciona información adicional sobre la restricción de la invertibilidad para los modelos MA (1). Nota de Teoría Avanzada. Para un modelo MA (q) con un ACF especificado, sólo hay un modelo invertible. La condición necesaria para la invertibilidad es que los coeficientes tienen valores tales que la ecuación 1- 1 y-. - q y q 0 tiene soluciones para y que caen fuera del círculo unitario. Código R para los Ejemplos En el Ejemplo 1, se representó la ACF teórica del modelo x $ _ {t} $ w $ _ {t} $. 7w t - 1. Y luego se simularon 150 valores de este modelo y se representaron las series de tiempo de muestra y la muestra ACF para los datos simulados. Los comandos R utilizados para trazar el ACF teórico fueron: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 retardos de ACF para MA (1) con theta1 0.7 lags0: 10 crea una variable llamada lags que oscila entre 0 y 10. plot Abline (h0) añade un eje horizontal al diagrama El primer comando determina el ACF y lo almacena en un objeto (a0) Llamado acfma1 (nuestra elección de nombre). El comando plot (el 3er comando) traza retrasos en comparación con los valores ACF para los retornos 1 a 10. El parámetro ylab etiqueta el eje y y el parámetro principal coloca un título en la gráfica. Para ver los valores numéricos de la ACF simplemente utilice el comando acfma1. La simulación y las parcelas se realizaron con los siguientes comandos. Xcarzim. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 agrega 10 para hacer la media 10. La simulación predeterminada significa 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) (X, xlimc (1,10), mainACF para datos de muestra simulados) En el Ejemplo 2, se representó el ACF teórico del modelo xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2. Y luego se simularon 150 valores de este modelo y se representaron las series de tiempo de muestra y la muestra ACF para los datos simulados. Los comandos R utilizados fueron acfma2ARMAacf (mac (0.5.0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 trama (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (2) con theta1 0,5, (X, typeb, principal serie MA simulado) acf (x, xlimc (1,10), x2) (1) Para los estudiantes interesados, aquí hay pruebas de las propiedades teóricas del modelo MA (1). Cuando x 1, la expresión anterior 1 w 2. Para cualquier h 2, la expresión anterior 0 (x) La razón es que, por definición de independencia del peso. E (w k w j) 0 para cualquier k j. Además, debido a que w t tiene una media 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para una serie de tiempo, aplique este resultado para obtener la ACF indicada anteriormente. Un modelo inversible MA es uno que puede ser escrito como un modelo de orden infinito AR que converge para que los coeficientes AR convergen a 0 a medida que avanzamos infinitamente en el tiempo. Bien demostrar invertibilidad para el modelo MA (1). A continuación, sustituimos la relación (2) de wt-1 en la ecuación (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z - theta2w) En el momento t-2. La ecuación (2) es entonces sustituimos la relación (4) por w t-2 en la ecuación (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Si continuáramos Sin embargo, si 1 1, los coeficientes que multiplican los retrasos de z aumentarán (infinitamente) en tamaño a medida que retrocedemos hacia atrás hora. Para evitar esto, necesitamos 1 lt1. Esta es la condición para un modelo de MA (1) invertible. Infinite Order MA model En la semana 3, veamos bien que un modelo AR (1) puede convertirse en un modelo de orden infinito MA: (xt - mu wt phi1w phi21w puntos phik1 w dots sum phij1w) Esta suma de términos de ruido blanco pasado es conocida Como la representación causal de un AR (1). En otras palabras, x t es un tipo especial de MA con un número infinito de términos remontándose en el tiempo. Esto se llama un orden infinito MA o MA (). Una orden finita MA es un orden infinito AR y cualquier orden finito AR es un orden infinito MA. Recordemos en la semana 1, observamos que un requisito para un AR estacionario (1) es que 1 lt1. Vamos a calcular el Var (x t) utilizando la representación causal. Este último paso utiliza un hecho básico sobre series geométricas que requiere (phi1lt1) de lo contrario la serie diverge. 2.2 Función de Autocorrelación Parcial (PACF) En general, una correlación parcial es una correlación condicional. Es la correlación entre dos variables bajo la suposición de que conocemos y tomamos en cuenta los valores de algún otro conjunto de variables. Por ejemplo, considere un contexto de regresión en el que y variable de respuesta y x 1. X 2. Y x 3 son variables predictoras. La correlación parcial entre y y x3 es la correlación entre las variables determinadas teniendo en cuenta cómo tanto y como x3 están relacionados con x 1 y x 2. En la regresión, esta correlación parcial puede ser encontrada correlacionando los residuos de dos regresiones diferentes: (1) Regresión en la que predict y de x 1 y x 2. (2) regresión en la que se predice x 3 de x 1 y x 2. Básicamente, correlacionamos las partes de y y x 3 que no están predichas por x 1 y x 2. Más formalmente, podemos definir la correlación parcial que acabamos de describir como Nota que esto es también cómo se interpretan los parámetros de un modelo de regresión. Piense en la diferencia entre interpretar los modelos de regresión: (y beta0 beta1x2 texto y beta0beta1xbeta2x2) En el primer modelo, 1 puede interpretarse como la dependencia lineal entre x 2 yy. En el segundo modelo, 2 sería interpretado como la dependencia lineal entre x 2 y y CON la dependencia entre x e y ya explicada. Para una serie de tiempo, la autocorrelación parcial entre x t y x t-h se define como la correlación condicional entre x t y x t-h. Condicional en x t-h1. X t - 1. El conjunto de observaciones que se producen entre los puntos temporales t y th. La autocorrelación parcial de primer orden se definirá para igualar la autocorrelación de primer orden. La autocorrelación parcial de la 2 ª orden (lag) es Esta es la correlación entre los valores dos períodos de tiempo aparte condicionados al conocimiento del valor intermedio. (Por cierto, las dos variaciones en el denominador se igualarán entre sí en una serie estacionaria.) La autocorrelación parcial de orden 3 (lag) es Y, así sucesivamente, para cualquier desfase. Típicamente, las manipulaciones de matriz que tienen que ver con la matriz de covarianza de una distribución multivariante se utilizan para determinar las estimaciones de las autocorrelaciones parciales. Algunos datos útiles sobre los patrones de PACF y ACF La identificación de un modelo de AR a menudo se hace mejor con el PACF. Para un modelo AR, el PACF teórico se cierra fuera del orden del modelo. La frase se cierra significa que en teoría las autocorrelaciones parciales son iguales a 0 más allá de ese punto. Dicho de otra manera, el número de autocorrelaciones parciales distintas de cero da el orden del modelo AR. Por el orden del modelo nos referimos al retraso más extremo de x que se utiliza como predictor. Ejemplo. En la lección 1.2, se identificó un modelo AR (1) para una serie temporal de números anuales de terremotos en todo el mundo con una magnitud sísmica mayor de 7,0. A continuación se muestra el ejemplo de PACF para esta serie. Obsérvese que el primer valor de retardo es estadísticamente significativo, mientras que las autocorrelaciones parciales para todos los demás desfases no son estadísticamente significativas. Esto sugiere un posible AR (1) modelo para estos datos. La identificación de un modelo de MA a menudo se hace mejor con el ACF que con el PACF. Para un modelo de MA, el PACF teórico no se cierra, sino que se estrecha hacia 0 de alguna manera. Un patrón más claro para un modelo de MA está en el ACF. El ACF tendrá autocorrelaciones no nulas sólo en los retrasos involucrados en el modelo. La lección 2.1 incluyó la ACF de ejemplo siguiente para una serie MA (1) simulada. Obsérvese que la primera autocorrelación de retardo es estadísticamente significativa, mientras que todas las autocorrelaciones subsiguientes no lo son. Esto sugiere un posible modelo MA (1) para los datos. Nota teórica. El modelo utilizado para la simulación fue x t 10 w t 0,7 w t-1. El modelo subyacente utilizado para la simulación de MA (1) en la lección 2.1 fue xt 10 wt 0,7 (1,1 2) .4698 y autocorrelaciones para todos los demás rezagos W t-1. A continuación se presenta el PACF teórico (autocorrelación parcial) para ese modelo. Nota: El PACF que se acaba de mostrar se creó en R con estos dos comandos: ma1pacf ARMAacf (ma c (.7), lag. max 36, pacfTRUE) plot (ma1pacf, typeh, main Teórico PACF de MA (1) con theta 0.7) 2.3 Convenciones de Notación Los modelos de series temporales (en el dominio del tiempo) implican términos rezagados y pueden implicar datos diferenciados para tener en cuenta la tendencia. Hay notaciones útiles usadas para cada uno. Utilizar B antes de un valor de la serie x t o un término de error w t significa mover ese elemento una vez. Por ejemplo, una potencia de B significa aplicar repetidamente el retroceso para retroceder un número de períodos de tiempo que es igual a la potencia. Como ejemplo, (x) representa x t dos unidades atrás en el tiempo. (Bk xt x) representa x t k unidades atrás en el tiempo. El operador de retroceso B no funciona con coeficientes porque son cantidades fijas que no se mueven en el tiempo. Por ejemplo, B 1 1. Los modelos AR y los modelos AR Polynomial AR se pueden escribir de forma compacta utilizando un polinomio AR que implica coeficientes y operadores de retroceso. Sea p el orden máximo (lag) de los términos AR en el modelo. La forma general para un polinomio AR es (Phi (B) 1-phi1B-dots-phip Bp). Utilizando el polinomio AR una forma de escribir un modelo AR es iid N (0, w 2). Para un AR (1), el retraso máximo 1 es el polinomio AR y el modelo puede escribirse ((1-phi1B) xt delta wt). Para comprobar que esto funciona, podemos multiplicar el lado izquierdo para obtener (xt - phi1x delta wt). Luego, girar el - 1 x t-1 sobre el lado derecho y obtenemos (xt delta phi1x wt). Un modelo AR (2) es (xt delta phi1x phi2x wt). Es decir, x t es una función lineal de los valores de x en los dos retrasos anteriores. El polinomio AR para un modelo AR (2) puede ser escrito como ((1-phi1B-phi2B2) xt delta wt), o como (Phi (B) xt delta wt) con una explicación adicional que (Phi (B) 1-phi1B-phi2B2). Un modelo de AR (p) es (xt delta phi1x phi2x. Phip x wt), donde (phi1, phi2. Phip) son constantes y pueden ser mayores que 1. Recuerde que (phi1 lt 1) para un modelo AR (1) .) Aquí xt es una función lineal de los valores de x en los p lags anteriores. Una notación abreviada para el polinomio AR es (B) y un modelo general de AR podría escribirse como (Phi (B) xt delta wt). Por supuesto, usted tendría que especificar el orden del modelo en algún lugar en el lado. Un modelo MA (1) (xt mu wt theta1 w) podría escribirse como (xt mu (1theta1B) wt). Un factor como (1theta1B) se llama el polinomio MA, y se denomina como (Theta (B)). Un modelo MA (2) se define como (xt mu wt theta1 w theta2 w) y podría escribirse como (xt mu (1theta1Btheta2B2) wt). Aquí, el polinomio MA es (Theta (B) (1theta1Btheta2B2)). En general, el polinomio MA es (Theta (B) (1theta1Bdots thetaqBq)). Donde (q) el orden máximo (lag) para los términos MA en el modelo. En general, podemos escribir un modelo de MA como (xt - mu Theta (B) wt). Modelos con términos AR y MA Un modelo que implica términos AR y MA puede escribirse (Phi (B) (xt-mu) Theta (B) wt) o posiblemente Nota: Muchos libros de texto y programas de software definen el polinomio MA con Signos negativos en lugar de signos positivos como los anteriores. Esto no cambia las propiedades del modelo, o con una muestra, el ajuste total del modelo. Sólo cambia los signos algebraicos de los coeficientes MA. Compruebe siempre cómo su software está definiendo el polinomio MA. Por ejemplo, es el polinomio MA (1) 1 1 B o 1 - 1 B A menudo, la diferenciación se utiliza para dar cuenta de la no estacionariedad que se produce en forma de tendencia y / o estacionalidad. Una notación alternativa para una diferencia es (nabla xt (1-B) xt xt-x). Un subíndice define una diferencia de retardo igual al subíndice. Por ejemplo, (nabla xt xt - x). Este tipo de diferencia se utiliza a menudo con datos mensuales que muestran estacionalidad. La idea es que las diferencias con respecto al año anterior pueden ser, en promedio, aproximadamente las mismas para cada mes de un año. Un superíndice dice para repetir la diferencia el número especificado de veces. Como ejemplo, (nabla2 xt (1-B) 2xt (1-2BB2) xt xt -2x x). En palabras, esta es una primera diferencia de las primeras diferencias.
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